Denis Feldmann <denis.feldmann.sansspam***neuf.fr> writes:

> Consultant la wikipedia Ã*** ce sujet, j'y ai trouvé sans surprise
> suites de Cauchy et coupures de Dedekind. Mais la version anglaise (
> http://en.wikipedia.org/wiki/Constru...f_real_numbers ) m'a
> laissé pantois ; outre des approches plus inattendues Ã*** partir des
> entiers non standard par exemple, il y figure l'étonnante et simple
> construction suivante : soit F l'ensemble des applications f de Z
> dans Z tels que f(m+n)-f(m)-f(n) soit borné (ne prenne qu'un nombre
> fini de valeurs, donc ; une telle fonction s'appelle un
> quasi-morphisme), ~ la relation d'équivalence sur F définie parf~g
> si f-g est bornée ; on note f* la classe d'équivalence de f et on
> pose f* + g* =(f+g)*, f* x g* =(g o f)*, et O<f* <=> f est non
> majorée. L'ensemble quotient F/~ , muni de +, x et < est un corps
> ordonné isomorphe Ã*** R !!!

Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
E(-) est la fonction partie entière ?

pg.

Philippe Gaucher wrote:
> Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
> E(-) est la fonction partie entière ?

En effet c'est de lÃ*** que serait parti Schanuel,
d'après la première référence citée par Wikipedia
( http://arxiv.org/pdf/math/0405454 page 12 ).

AC

Philippe Gaucher wrote:
> Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
> E(-) est la fonction partie entière ?

Et merci de l'avoir relevé; cela permet de répondre rapidement
Ã*** ceux (Ã*** commencer par moi) qui vont se demander si les
représentations de pi et e ont des propriétés magiques dans
cette construction...

AC

A. Caspis a écrit :
> Philippe Gaucher wrote:
>> Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
>> E(-) est la fonction partie entière ?
>
> En effet c'est de lÃ*** que serait parti Schanuel,

Et heureusement, au moins de ce point de vue, on y comprend quelque chose!

Je vais me pencher sur la démo mais... si la construction paraît facile,
encore faut-il que les propriétés (corps commutatif totalement ordonné
archimédien contenant Q et complet) se démontrent également d'élégante
manière, sinon... Ã*** quoi bon ?

UGLi

UGLi a écrit :
> A. Caspis a écrit :
>> Philippe Gaucher wrote:
>>> Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
>>> E(-) est la fonction partie entière ?
>>
>> En effet c'est de lÃ*** que serait parti Schanuel,
>
> Et heureusement, au moins de ce point de vue, on y comprend quelque chose!
>
> Je vais me pencher sur la démo mais... si la construction paraît facile,
> encore faut-il que les propriétés (corps commutatif totalement ordonné
> archimédien contenant Q et complet) se démontrent également d'élégante
> manière, sinon... Ã*** quoi bon ?

Ben non, c'est pas l'essentiel. Pour moi, le plus étonnant est que la
multiplication des réels est définie comme la composition d'applications
de Z dans Z. Ca, c'est suffisamment remarquable pour que ca interpelle
au niveau de généralisations éventuelles, par exemple...


>
> UGLi

Denis Feldmann wrote:
> UGLi a écrit :
>> A. Caspis a écrit :
>>> Philippe Gaucher wrote:
>>>> Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
>>>> E(-) est la fonction partie entière ?
>>>
>>> En effet c'est de lÃ*** que serait parti Schanuel,
>>
>> Et heureusement, au moins de ce point de vue, on y comprend quelque
>> chose!
>>
>> Je vais me pencher sur la démo mais... si la construction paraît
>> facile, encore faut-il que les propriétés (corps commutatif totalement
>> ordonné archimédien contenant Q et complet) se démontrent également
>> d'élégante manière, sinon... Ã*** quoi bon ?
>
> Ben non, c'est pas l'essentiel. Pour moi, le plus étonnant est que la
> multiplication des réels est définie comme la composition d'applications
> de Z dans Z. Ca, c'est suffisamment remarquable pour que ca interpelle
> au niveau de généralisations éventuelles, par exemple...

Ce n'est pas essentiel du point du vue du chercheur, qui souhaite
découvrir de nouvelles choses. Du point de vue d'un enseignant,
ce serait une question essentielle : est-ce que la construction
apporte quelque simplification dans ce qui existe déjÃ*** ?
Est-ce qu'il est facile de faire de l'analyse avec ça, de voir Q comme
sous-corps de R, etc. ?
Pour ma part jusqu'Ã*** maintenant j'avais un petit faible pour
les coupures, est-ce que ça remplace "agréablement" ?

Capra Hircus a écrit :
> Denis Feldmann wrote:
>> UGLi a écrit :
>>> A. Caspis a écrit :
>>>> Philippe Gaucher wrote:
>>>>> Apparemment, le réel x s'envoie sur la fonction n |-> E(xn) où
>>>>> E(-) est la fonction partie entière ?
>>>>
>>>> En effet c'est de lÃ*** que serait parti Schanuel,
>>>
>>> Et heureusement, au moins de ce point de vue, on y comprend quelque
>>> chose!
>>>
>>> Je vais me pencher sur la démo mais... si la construction paraît
>>> facile, encore faut-il que les propriétés (corps commutatif
>>> totalement ordonné archimédien contenant Q et complet) se démontrent
>>> également d'élégante manière, sinon... Ã*** quoi bon ?
>>
>> Ben non, c'est pas l'essentiel. Pour moi, le plus étonnant est que la
>> multiplication des réels est définie comme la composition
>> d'applications de Z dans Z. Ca, c'est suffisamment remarquable pour
>> que ca interpelle au niveau de généralisations éventuelles, par
>> exemple...
>
> Ce n'est pas essentiel du point du vue du chercheur, qui souhaite
> découvrir de nouvelles choses. Du point de vue d'un enseignant,
> ce serait une question essentielle : est-ce que la construction
> apporte quelque simplification dans ce qui existe déjÃ*** ?
> Est-ce qu'il est facile de faire de l'analyse avec ça, de voir Q comme
> sous-corps de R, etc. ?
> Pour ma part jusqu'Ã*** maintenant j'avais un petit faible pour
> les coupures, est-ce que ça remplace "agréablement" ?

Non, les coupures, jusqu'Ã*** Conway, c'était une curiosité (et la
définition de la multiplication, sans parler de la preuve de ses
propriétés, tenait du supplice chinois), alors que les suites de Cauchy,
outre leur agréable généralisation aux espaces métriques, aux nombres
p-adiques, etc. étaient pédagogiquement plus "rentables". Bon, la
construction en question ne me parait pas simplifier quoi que ce soit
(les articles cités par la Wikipedia ne me semblent vraiment pas
limpides, et même montrer qu'il n'y a pas d'autres classes que celles de
n->[an] est dur), mais faudrait creuser...

Denis Feldmann wrote:

>> Ce n'est pas essentiel du point du vue du chercheur, qui souhaite
>> découvrir de nouvelles choses. Du point de vue d'un enseignant,
>> ce serait une question essentielle : est-ce que la construction
>> apporte quelque simplification dans ce qui existe déjÃ*** ?
>> Est-ce qu'il est facile de faire de l'analyse avec ça, de voir Q comme
>> sous-corps de R, etc. ?
>> Pour ma part jusqu'Ã*** maintenant j'avais un petit faible pour
>> les coupures, est-ce que ça remplace "agréablement" ?
>
> Non,

Si, je te promets, j'avais (et j'ai toujours) un petit faible :-)

> les coupures, jusqu'Ã*** Conway, c'était une curiosité (et la
> définition de la multiplication, sans parler de la preuve de ses
> propriétés, tenait du supplice chinois), alors que les suites de Cauchy,
> outre leur agréable généralisation aux espaces métriques, aux nombres
> p-adiques, etc. étaient pédagogiquement plus "rentables".

Plus rentable, c'est vrai. Cependant, conceptuellement, je préfère
les coupures. Je ne sais pas comment l'expliquer.
De même j'ai toujours préféré l'intégrale de Riemann Ã*** l'intégrale
de Lebesgue. Pourtant tu vas hurler au sacrilège, ou quelqu'un
d'autre le fera. Et pourtant aussi, je sais combien elle est
utile en calcul des probabilités.
Je suis aux anges depuis que j'ai découvert celle de DPHK :-)

> Bon, la
> construction en question ne me parait pas simplifier quoi que ce soit
> (les articles cités par la Wikipedia ne me semblent vraiment pas
> limpides, et même montrer qu'il n'y a pas d'autres classes que celles de
> n->[an] est dur), mais faudrait creuser...

Ok, Ã*** voir donc.

Denis Feldmann wrote:
> Bon, la
> construction en question ne me parait pas simplifier quoi que ce soit
> (les articles cités par la Wikipedia ne me semblent vraiment pas
> limpides, et même montrer qu'il n'y a pas d'autres classes que celles de
> n->[an] est dur), mais faudrait creuser...

Et pourtant c'est cette construction de R qui a été retenue comme la
plus simple pour vérifier les preuves en détail par ordinateur:
http://www.cl.cam.ac.uk/techreports/...L-TR-408.ps.gz pages 16-18.

D'un autre côté, une fois que l'on a remarqué avec PG que x |-> [xn]
donne une bonne correspondance canonique, on voit aussi que pour tout
autre représentant f, lim(f(n)/n)=x.

La multiplication par composition se comprend intuitivement en
écrivant g(f(n))/n = f(n)/n * g(f(n))/f(n).

Vu comme ça, ce n'est pas tellement plus excitant que d'identifier
x Ã*** l'ensemble des fonctions f telles que lim(f(n)/n)=x, sans
contrainte sur la vitesse de convergence. Ou alors j'ai manqué une
subtilité.

AC

Capra Hircus a écrit :
> Denis Feldmann wrote:
>> les coupures, jusqu'Ã*** Conway, c'était une curiosité (et la définition
>> de la multiplication, sans parler de la preuve de ses propriétés,
>> tenait du supplice chinois), alors que les suites de Cauchy, outre
>> leur agréable généralisation aux espaces métriques, aux nombres
>> p-adiques, etc. étaient pédagogiquement plus "rentables".
>
> Plus rentable, c'est vrai. Cependant, conceptuellement, je préfère
> les coupures. Je ne sais pas comment l'expliquer.

Les coupures ont le désavantage de générer des objets imprédicatifs (en
particulier quand on définit les bornes d'un ensemble de réels), ce qui
déplaît Ã*** certains.

--
Joe Cool

A. Caspis a écrit :
> Denis Feldmann wrote:
>> Bon, la
>> construction en question ne me parait pas simplifier quoi que ce soit
>> (les articles cités par la Wikipedia ne me semblent vraiment pas
>> limpides, et même montrer qu'il n'y a pas d'autres classes que celles de
>> n->[an] est dur), mais faudrait creuser...
>
> Et pourtant c'est cette construction de R qui a été retenue comme la
> plus simple pour vérifier les preuves en détail par ordinateur:
> http://www.cl.cam.ac.uk/techreports/...L-TR-408.ps.gz pages 16-18.
>
> D'un autre côté, une fois que l'on a remarqué avec PG que x |-> [xn]
> donne une bonne correspondance canonique, on voit aussi que pour tout
> autre représentant f, lim(f(n)/n)=x.
>
> La multiplication par composition se comprend intuitivement en
> écrivant g(f(n))/n = f(n)/n * g(f(n))/f(n).
>
> Vu comme ça, ce n'est pas tellement plus excitant que d'identifier
> x Ã*** l'ensemble des fonctions f telles que lim(f(n)/n)=x, sans
> contrainte sur la vitesse de convergence. Ou alors j'ai manqué une
> subtilité.


Ben comment tu définis cet ensemble, sans connaître x ? Par suites de
Cauchy de la forme f(n)/n ? Alors autant revenir Ã*** la définition
classique :-)
>
> AC

Denis Feldmann a écrit :

> Non, les coupures, jusqu'Ã*** Conway, c'était une curiosité (et la
> définition de la multiplication, sans parler de la preuve de ses
> propriétés, tenait du supplice chinois)

Quoique, comme le dit d'aileurs Conway, c'est très simplifié si on
construit seulement les réels positifs dans un premier temps.

> alors que les suites de Cauchy,
> outre leur agréable généralisation aux espaces métriques, aux nombres
> p-adiques, etc. étaient pédagogiquement plus "rentables".

Certes, mais on doit d'abord traiter de notions de convergences dans un
corps totalement ordonné (vu qu'on n'a pas encore R) et du coup cette
construction me semble un peu tirée par les cheveux...

--
Fatal