Bonjour à tous ,

Est-ce que quelqu'un voudrait bien m'aider, svp ?

Voilà : J'ai une série de problèmes à résoudre (qui font partie du chapitre
" Equations trigonométriques et trigonométrie du triangle qcq ") . Ca va
pour tous sauf pour les deux derniers .

D'abord le premier :
"Calcule la petite base d'un trapèze dont les diagonales mesurent 10 m et 6
m , la grande base 9 m et l'aire 15*sqrt(3) m²" .

J'ai fait le dessin du trapèze MNPQ (avec M en haut à gauche , la petite
base MN en haut aussi , et avec MP=10 et NQ=6 et QP=9 . L'intersection des
diagonales = O) .
D'après les autres problèmes que j'ai du faire , il me semble que ici aussi
il faudrait que je trouve une valeur supplémentaire (d'angle ou de longueur
ou d'aire) pour pouvoir continuer mais je ne trouve rien . A part que les
triangles MNO et OPQ sont semblables . Donc , si h1 est la hauteur du
triangle MNO issue de O et h2 la hauteur du triangle OPQ issue de O aussi ,
alors on a les égalités : ON/OQ=OM/OP=MN/9 (car QP=9)=h1/h2 . Et aussi que ,
si h2=k*h1 (pour k=Réel strictement positif)) , alors l'aire du triangle
OPQ=k*aire du triangleOMN .
J'ai vu aussi que l'aire du triangle MOQ=aire du triangle NOP .
Mais je n'arrive pas à aller plus loin .

J'ai bien vérifié pour vois si je n'avais pas oublié une donnée , mais non .

Quelqu'un aurait-il un indice à me proposer ? Merci beaucoup d'avance .

Le deuxième problème aussi est difficile :
"Dans le trapèze ABCD, les bases // sont [AD]et[BC] . [AD] mesure 15 m ,
[BC]=10 m , [AB]=8 m , [DC]=7 m .
Calcule les angles et l'aire du trapèze" .

Ici , j'ai essayé ceci :

j'ai tracé la diagonale [BD] . Puis j'ai appelé :
M , le pied de la hauteur h1 du triangle ABD issue de A
N , le pied de la hauteur h2 du triangle CBD issue de C
a , la diagonale [BD]
x , le segment [BM]
y , le segment [DN]
donc a-x-y le segment [MN]
Puis , après des calculs , j'ai obtenu : a*(x-y) = 70 .
C'est tout ce que j'ai trouvé mais c'est insuffisant , évidemment .

Ici aussi quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Encore une fois , merci à l'avance .

Je suis dans une classe qui correspond à la Seconde en France .
J'espère que je n'ai pas commis d'erreur de retranscription .

Ophélie

Ophélie D a écrit :
> Bonjour à tous ,
>
> Est-ce que quelqu'un voudrait bien m'aider, svp ?
>
> Voilà : J'ai une série de problèmes à résoudre (qui font partie du chapitre
> " Equations trigonométriques et trigonométrie du triangle qcq ") . Ca va
> pour tous sauf pour les deux derniers .
>
> D'abord le premier :
> "Calcule la petite base d'un trapèze dont les diagonales mesurent 10 m et 6
> m , la grande base 9 m et l'aire 15*sqrt(3) m²" .
>
> J'ai fait le dessin du trapèze MNPQ (avec M en haut à gauche , la petite
> base MN en haut aussi , et avec MP=10 et NQ=6 et QP=9 . L'intersection des
> diagonales = O) .
> D'après les autres problèmes que j'ai du faire , il me semble que ici aussi
> il faudrait que je trouve une valeur supplémentaire (d'angle ou de longueur
> ou d'aire) pour pouvoir continuer mais je ne trouve rien . A part que les
> triangles MNO et OPQ sont semblables . Donc , si h1 est la hauteur du
> triangle MNO issue de O et h2 la hauteur du triangle OPQ issue de O aussi ,
> alors on a les égalités : ON/OQ=OM/OP=MN/9 (car QP=9)=h1/h2 . Et aussi que ,
> si h2=k*h1 (pour k=Réel strictement positif)) , alors l'aire du triangle
> OPQ=k*aire du triangleOMN .
> J'ai vu aussi que l'aire du triangle MOQ=aire du triangle NOP .
> Mais je n'arrive pas à aller plus loin .
>
> J'ai bien vérifié pour vois si je n'avais pas oublié une donnée , mais non .
>
> Quelqu'un aurait-il un indice à me proposer ? Merci beaucoup d'avance .
>
> Le deuxième problème aussi est difficile :
> "Dans le trapèze ABCD, les bases // sont [AD]et[BC] . [AD] mesure 15 m ,
> [BC]=10 m , [AB]=8 m , [DC]=7 m .
> Calcule les angles et l'aire du trapèze" .
>
> Ici , j'ai essayé ceci :
>
> j'ai tracé la diagonale [BD] . Puis j'ai appelé :
> M , le pied de la hauteur h1 du triangle ABD issue de A
> N , le pied de la hauteur h2 du triangle CBD issue de C
> a , la diagonale [BD]
> x , le segment [BM]
> y , le segment [DN]
> donc a-x-y le segment [MN]
> Puis , après des calculs , j'ai obtenu : a*(x-y) = 70 .
> C'est tout ce que j'ai trouvé mais c'est insuffisant , évidemment .
>
> Ici aussi quelqu'un pourrait-il m'aider ?
> Encore une fois , merci à l'avance .
>
> Je suis dans une classe qui correspond à la Seconde en France .
> J'espère que je n'ai pas commis d'erreur de retranscription .
>
> Ophélie
>
>
>
>
>
>
>
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>
>
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>
>
Bonjour,
Le trapèze possède-t-il une autre propriété comme rectangle peut-être
Bon courage

> Bonjour,
> Le trapèze possède-t-il une autre propriété comme rectangle peut-être
> Bon courage


Bonjour et merci pour votre message que je ne comprend pourtant pas très
bien : Est-ce une question ou bien une suggestion de votre part ?
Si c'est une question alors ma réponse est que il n'est précisé nulle part
dans le problème que le trapèze possède un angle droit . J'ai vérifié .
Maintenant si c'est une suggestion alors malheureusement elle ne m'aide pas
de trop . Pourriez-vous préciser , svp ?
De toute façon , merci beaucoup pour votre intervention .

Je pourrais peut-être ajouter ce que j'ai trouvé hier soir , même si je ne
sais pas si cela a de l'importance : Voilà :
Si j'appelle :
A : l'aire du triangle MNO
k² * A : l'aire du triangle OPQ (k=Réel>0) . Attention , hier , j'avais
oublié d'écrire le "²" .
B : l'aire des triangles MOQ et NOP
alors , en appliquant le "théorème des ciseaux" aux deux triangles MNP et
MQP coupés par la diagonale QN , j'obtiens :
B/A = (k²*A)/B donc finalement : k = B/A
Donc , puisque l'aire du triangle OPQ = k²*A = (9*h2)/2 = (9*k*h1)/2 , alors
:
(9*k*h1)/2 = k²*A donc (9*h1)/2 = k*A =(B/A)*A = B
Donc : B=(9*h1)/2 (j'ai obtenu l'aire B en fonction de la hauteur h1) ;
Autrement dit h1 = (2*B)/9
J'obtiens aussi en prolongeant mes calculs h2 = (2*A)/9
Et h1+h2 = hauteur du trapèze = (2/9)*(A+B). Mais là encore , ça ne me donne
rien de concret .

Si l'un d'entre vous pouvait me mettre sur la bonne voie , ce serait très
gentil de sa part .

Encore merci .

Ophélie

> Bonjour,
> Le trapèze possède-t-il une autre propriété comme rectangle peut-être
> Bon courage


Bonjour ,

Et merci pour votre message que je ne comprend pourtant pas très
bien : Est-ce une question ou bien une suggestion de votre part ?
Si c'est une question alors ma réponse est que il n'est précisé nulle part
dans le problème que le trapèze possède un angle droit . J'ai vérifié .
Maintenant si c'est une suggestion alors malheureusement elle ne m'aide pas
de trop . Pourriez-vous préciser , svp ?
De toute façon , merci beaucoup pour votre intervention .

Je pourrais peut-être ajouter ce que j'ai trouvé hier soir , même si je ne
sais pas si cela a de l'importance : Voilà :
Si j'appelle :
A : l'aire du triangle MNO
k² * A : l'aire du triangle OPQ (k=Réel>0) . Attention , hier , j'avais
oublié d'écrire le "²" .
B : l'aire des triangles MOQ et NOP
alors , en appliquant le "théorème des ciseaux" aux deux triangles MNP et
MQP coupés par la diagonale QN , j'obtiens :
B/A = (k²*A)/B donc finalement : k = B/A
Donc , puisque l'aire du triangle OPQ = k²*A = (9*h2)/2 = (9*k*h1)/2 , alors
:
(9*k*h1)/2 = k²*A donc (9*h1)/2 = k*A =(B/A)*A = B
Donc : B=(9*h1)/2 (j'ai obtenu l'aire B en fonction de la hauteur h1) ;
Autrement dit h1 = (2*B)/9
J'obtiens aussi en prolongeant mes calculs h2 = (2*A)/9
Et h1+h2 = hauteur du trapèze = (2/9)*(A+B). Mais là encore , ça ne me donne
rien de concret .

Si l'un d'entre vous pouvait me mettre sur la bonne voie , ce serait très
gentil de sa part .

Encore merci .

Ophélie

Bonsoir
En ce qui concerne le premier problème, il n'est pas nécessaire d'introduire
des données supplémentaires : il est résoluble tel quel.
Principe :
* On complète le trapèze en un rectangle QPGH (QP=grande base du trapèze,
HG porté par la petite base)
* dans les triangles rectangles HNQ et MGP, on applique la relation de
Pythagore : en notant HM=x, NG=y, MN=b, cela donnera les relations
(b+x)²+h²=36 et (b+y)²+h²=100
* On a par ailleurs x+y+b=9 (longueur de HG) et (9+b)h=30*sqrt(3) d'après
l'aire du trapèze.
* On a ainsi obtenu un système de quatre équations aux quatre inconnues
x,y,b,h, qui ne semble pas des plus sympathiques, mais qui se résout
finalement assez bien : on calcule h dans la 4e relation, on l'élève au
carré, on le reporte dans la deuxième et la première, on se débarrasse de y
en utilisant la troisième, et on obtient ainsi un système à deux inconnues
b, x, qui peut être résolu en calculant x en fonction de b, puis adoptant
comme inconnue auxiliaire u = (b+9)².
* u est solution d'une équation du second degré, dont seule une racine est
acceptable
* La longueur de la petite base est finalement b = 5.
A vous de rédiger tout ça...
RR

"Ophélie D" <ma136856*skynet.be> a écrit dans le message de news:
47b71dc3$0$2959$ba620e4c*news.skynet.be...
> Bonjour à tous ,
>
> Est-ce que quelqu'un voudrait bien m'aider, svp ?
>
> Voilà : J'ai une série de problèmes à résoudre (qui font partie du
> chapitre
> " Equations trigonométriques et trigonométrie du triangle qcq ") . Ca va
> pour tous sauf pour les deux derniers .
>
> D'abord le premier :
> "Calcule la petite base d'un trapèze dont les diagonales mesurent 10 m et
> 6
> m , la grande base 9 m et l'aire 15*sqrt(3) m²" .
>
> J'ai fait le dessin du trapèze MNPQ (avec M en haut à gauche , la petite
> base MN en haut aussi , et avec MP=10 et NQ=6 et QP=9 . L'intersection des
> diagonales = O) .
> D'après les autres problèmes que j'ai du faire , il me semble que ici
> aussi
> il faudrait que je trouve une valeur supplémentaire (d'angle ou de
> longueur
> ou d'aire) pour pouvoir continuer mais je ne trouve rien . A part que les
> triangles MNO et OPQ sont semblables . Donc , si h1 est la hauteur du
> triangle MNO issue de O et h2 la hauteur du triangle OPQ issue de O aussi
> ,
> alors on a les égalités : ON/OQ=OM/OP=MN/9 (car QP=9)=h1/h2 . Et aussi que
> ,
> si h2=k*h1 (pour k=Réel strictement positif)) , alors l'aire du triangle
> OPQ=k*aire du triangleOMN .
> J'ai vu aussi que l'aire du triangle MOQ=aire du triangle NOP .
> Mais je n'arrive pas à aller plus loin .
>
> J'ai bien vérifié pour vois si je n'avais pas oublié une donnée , mais non
> .
>
> Quelqu'un aurait-il un indice à me proposer ? Merci beaucoup d'avance .
>
> Le deuxième problème aussi est difficile :
> "Dans le trapèze ABCD, les bases // sont [AD]et[BC] . [AD] mesure 15 m ,
> [BC]=10 m , [AB]=8 m , [DC]=7 m .
> Calcule les angles et l'aire du trapèze" .
>
> Ici , j'ai essayé ceci :
>
> j'ai tracé la diagonale [BD] . Puis j'ai appelé :
> M , le pied de la hauteur h1 du triangle ABD issue de A
> N , le pied de la hauteur h2 du triangle CBD issue de C
> a , la diagonale [BD]
> x , le segment [BM]
> y , le segment [DN]
> donc a-x-y le segment [MN]
> Puis , après des calculs , j'ai obtenu : a*(x-y) = 70 .
> C'est tout ce que j'ai trouvé mais c'est insuffisant , évidemment .
>
> Ici aussi quelqu'un pourrait-il m'aider ?
> Encore une fois , merci à l'avance .
>
> Je suis dans une classe qui correspond à la Seconde en France .
> J'espère que je n'ai pas commis d'erreur de retranscription .
>
> Ophélie
>
>
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>
>

Re-bonsoir
Le deuxième problème est nettement plus facile !
Principe : on construit le rectangle BCEF dont le côté EF est porté par AD
On note AF=x, ED=y, et BF=h
Les triangles BAF et CED sont rectangles : on leur applique la relation de
Pythagore, ce qui donne deux relations entre h,x,y
On en obtient une troisième en exprimant la longueur de AD
Le système des trois équations en x,y,h est facile à résoudre, et quand on
connaît ces trois valeurs, le reste est immédiat...
RR


"Ophélie D" <ma136856*skynet.be> a écrit dans le message de news:
47b71dc3$0$2959$ba620e4c*news.skynet.be...
> Bonjour à tous ,
>
> Est-ce que quelqu'un voudrait bien m'aider, svp ?
>
> Voilà : J'ai une série de problèmes à résoudre (qui font partie du
> chapitre
> " Equations trigonométriques et trigonométrie du triangle qcq ") . Ca va
> pour tous sauf pour les deux derniers .
>
> D'abord le premier :
> "Calcule la petite base d'un trapèze dont les diagonales mesurent 10 m et
> 6
> m , la grande base 9 m et l'aire 15*sqrt(3) m²" .
>
> J'ai fait le dessin du trapèze MNPQ (avec M en haut à gauche , la petite
> base MN en haut aussi , et avec MP=10 et NQ=6 et QP=9 . L'intersection des
> diagonales = O) .
> D'après les autres problèmes que j'ai du faire , il me semble que ici
> aussi
> il faudrait que je trouve une valeur supplémentaire (d'angle ou de
> longueur
> ou d'aire) pour pouvoir continuer mais je ne trouve rien . A part que les
> triangles MNO et OPQ sont semblables . Donc , si h1 est la hauteur du
> triangle MNO issue de O et h2 la hauteur du triangle OPQ issue de O aussi
> ,
> alors on a les égalités : ON/OQ=OM/OP=MN/9 (car QP=9)=h1/h2 . Et aussi que
> ,
> si h2=k*h1 (pour k=Réel strictement positif)) , alors l'aire du triangle
> OPQ=k*aire du triangleOMN .
> J'ai vu aussi que l'aire du triangle MOQ=aire du triangle NOP .
> Mais je n'arrive pas à aller plus loin .
>
> J'ai bien vérifié pour vois si je n'avais pas oublié une donnée , mais non
> .
>
> Quelqu'un aurait-il un indice à me proposer ? Merci beaucoup d'avance .
>
> Le deuxième problème aussi est difficile :
> "Dans le trapèze ABCD, les bases // sont [AD]et[BC] . [AD] mesure 15 m ,
> [BC]=10 m , [AB]=8 m , [DC]=7 m .
> Calcule les angles et l'aire du trapèze" .
>
> Ici , j'ai essayé ceci :
>
> j'ai tracé la diagonale [BD] . Puis j'ai appelé :
> M , le pied de la hauteur h1 du triangle ABD issue de A
> N , le pied de la hauteur h2 du triangle CBD issue de C
> a , la diagonale [BD]
> x , le segment [BM]
> y , le segment [DN]
> donc a-x-y le segment [MN]
> Puis , après des calculs , j'ai obtenu : a*(x-y) = 70 .
> C'est tout ce que j'ai trouvé mais c'est insuffisant , évidemment .
>
> Ici aussi quelqu'un pourrait-il m'aider ?
> Encore une fois , merci à l'avance .
>
> Je suis dans une classe qui correspond à la Seconde en France .
> J'espère que je n'ai pas commis d'erreur de retranscription .
>
> Ophélie
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Dans quel lycée de France peut-on bien donner ce problème en Seconde ???

Dans un repère orthonormé d'origine Q et d'axe des abscisses QP, M a
pour coordonnées (x, h) et N(x+b, h).

On traduit les trois données de l'énoncé :
h² + (b+x)² = 36
(9-x)²+ h² = 100
(b+9)h = 30*sqrt(3)

Après des calculs plus ou moins abominables, et en tenant compte du fait
que abs(b) < 9, on obtient la solution b = 5, x = -2 / 7, h =
15*sqrt(3) / 7, ce qui donne un joli trapèze.

On a aussi une solution avec un trapèze croisé :
b = - 9 + 2*sqrt(19), x = 9 - 35/sqrt(19), h=15*sqrt(3)/sqrt(19)

Donc, si on ne veut pas un trapèze croisé, on n'a que la solution
petite base = 5.

Il y a sans doute plus simple...

Jules



Ophélie D a écrit :
> Bonjour à tous ,
>
> Est-ce que quelqu'un voudrait bien m'aider, svp ?
>
> Voilà : J'ai une série de problèmes à résoudre (qui font partie du chapitre
> " Equations trigonométriques et trigonométrie du triangle qcq ") . Ca va
> pour tous sauf pour les deux derniers .
>
> D'abord le premier :
> "Calcule la petite base d'un trapèze dont les diagonales mesurent 10 m et 6
> m , la grande base 9 m et l'aire 15*sqrt(3) m²" .
>
> J'ai fait le dessin du trapèze MNPQ (avec M en haut à gauche , la petite
> base MN en haut aussi , et avec MP=10 et NQ=6 et QP=9 . L'intersection des
> diagonales = O) .

"Ophélie D" <ma136856*skynet.be> a écrit dans le message de news:
47b71dc3$0$2959$ba620e4c*news.skynet.be...
> Bonjour à tous ,
>
> Est-ce que quelqu'un voudrait bien m'aider, svp ?
>
> Voilà : J'ai une série de problèmes à résoudre (qui font partie du
> chapitre
> " Equations trigonométriques et trigonométrie du triangle qcq ") . Ca va
> pour tous sauf pour les deux derniers .
>
> D'abord le premier :
> "Calcule la petite base d'un trapèze dont les diagonales mesurent 10 m et
> 6
> m , la grande base 9 m et l'aire 15*sqrt(3) m²" .
>
> J'ai fait le dessin du trapèze MNPQ (avec M en haut à gauche , la petite
> base MN en haut aussi , et avec MP=10 et NQ=6 et QP=9 . L'intersection des
> diagonales = O) .
> D'après les autres problèmes que j'ai du faire , il me semble que ici
> aussi
> il faudrait que je trouve une valeur supplémentaire (d'angle ou de
> longueur
> ou d'aire) pour pouvoir continuer mais je ne trouve rien . A part que les
> triangles MNO et OPQ sont semblables . Donc , si h1 est la hauteur du
> triangle MNO issue de O et h2 la hauteur du triangle OPQ issue de O aussi
> ,
> alors on a les égalités : ON/OQ=OM/OP=MN/9 (car QP=9)=h1/h2 . Et aussi que
> ,
> si h2=k*h1 (pour k=Réel strictement positif)) , alors l'aire du triangle
> OPQ=k*aire du triangleOMN .
> J'ai vu aussi que l'aire du triangle MOQ=aire du triangle NOP .
> Mais je n'arrive pas à aller plus loin .
>
> J'ai bien vérifié pour vois si je n'avais pas oublié une donnée , mais non
> .
>
> Quelqu'un aurait-il un indice à me proposer ? Merci beaucoup d'avance .
>
> Le deuxième problème aussi est difficile :
> "Dans le trapèze ABCD, les bases // sont [AD]et[BC] . [AD] mesure 15 m ,
> [BC]=10 m , [AB]=8 m , [DC]=7 m .
> Calcule les angles et l'aire du trapèze" .
>
> Ici , j'ai essayé ceci :
>
> j'ai tracé la diagonale [BD] . Puis j'ai appelé :
> M , le pied de la hauteur h1 du triangle ABD issue de A
> N , le pied de la hauteur h2 du triangle CBD issue de C
> a , la diagonale [BD]
> x , le segment [BM]
> y , le segment [DN]
> donc a-x-y le segment [MN]
> Puis , après des calculs , j'ai obtenu : a*(x-y) = 70 .
> C'est tout ce que j'ai trouvé mais c'est insuffisant , évidemment .
>
> Ici aussi quelqu'un pourrait-il m'aider ?
> Encore une fois , merci à l'avance .
>
> Je suis dans une classe qui correspond à la Seconde en France .
> J'espère que je n'ai pas commis d'erreur de retranscription .
>
> Ophélie
>

En notant h la hauteur du trapèze, vous connaissez l'expression de sa
surface S en fonction de h, MN, PQ.
D'autre part celui-ci est formé d'un rectangle central de surface MN.h et de
deux triangles latéraux.
Soient M' et N' les pieds des hauteurs issues de M et N.
On peut écrire, dans le triangle MM'Q :
M'Q = racine(100 - h^2)
N'P = racine(36 - h^2)
Or on voit que :
(M'Q + N'P) = PQ - MN
d'où une relation entre h et MN
D'où connaissant S on tire MN

Voici une des possibilités de calcul
A.J.

Rectification : dans le cas du trapèze croisé, c'est la différence, et
non la somme, des aires des triangles qui le composent qui vaut
15*sqrt(3). Cette solution est donc à rejeter.

Il faut résoudre le système avec la condition 0 < b < 9, et on n'a plus
que la solution b = 5.

Jules

J'adresse ce message à tous ceux qui ont eu la gentillesse de me répondre :

Un grand merci à vous tous . Vous m'êtes d'une aide extrèmement précieuse .

Je précise aussi (pour "Jules" en particulier) que je suis élève dans un
lycée belge , section Maths Fortes .

(...C'est la section qui est forte , moi nettement moins , j'en ai peur
:-) )



Ophélie